답변이 늦어 죄송합니다.

우선 귀하의 상황에 위로의 말씀을 전해 드립니다.
병역특례에 있어 이런 일이 종종 발생하곤 합니다.
이럴 경우 귀하는 절대 먼저 회사의 조건을 수락해서는 안된다는 것입니다. 물론 회사가 프로젝트의 코드명을 이유로 퇴사를 강요하는 것이 정당한 해고의 사유가 될 수 있을 지의 여부는 그 사안에 따라 실제 회사가 피해를 보았거나 불이익을 받았는지의 여부에 따라서 달리 판단될 수 있을 것입니다.
만일 회사가 불이익 또는 손해를 명백하게 받았다면 징계해고의 사유를 삼을 수 있지만, 이러한 손해를 끼친 정도가 명확하지 않다면 징계해고의 사유로 보기는 어려울 수 있습니다.
그럴 경우 부당해고가 될 소지가 있지요, 이 경우에는 부당해고구제신청이 가능합니다. 또 한가지는 귀하가 회사가 주장하는 사유로 인해 사직서를 작성하고 사직을 한다면 향후에 부당해고의 구제신청에서 상당히 불리해질 수 있습니다.

상담내용에 왜 병특업체가 지정된 업체가 아닌 다른 업체에서 근무하게 되었는지가 설명되지 않았더군요. 만일 근무지의 변경이 원래 지정된 회사와 관련이 있다면 실제로 병특기간이 만료되지 않은 상태에서 퇴사를 종용하고 군입대를 권유하는 것은 원래의 병특을 신청했던 회사와의 관계도 있을  것으로 판단됩니다. 그러니 그러한 점도 고민해 보시기 바랍니다.

결론적으로 말씀드리자면 병특으로 근무를 하더라도 임금을 받고 근로를 제공하였다면 근로자성은 인정되며, 따라서 정당한 사유가 없이 퇴사를 강요하는 것은 부당해고에 해당합니다. 그러나 상기의 사안에서는 회사가 귀하의 귀책사유로 일정부분을 들고 퇴사를 강요하고 있기 때문에 이러한 사유의 경중을 판단하셔야 할 것입니다. 프로젝트 코드명의 노출이 실제로 회사에 손해를 끼쳤는지의 여부에 따라 향후에 징계해고의 정당성 여부가 결정될 수 있기 때문입니다.  그러니 이러한 점을 고려해 보시고 판단해 보시기 바랍니다.
그리고 회사가 퇴사를 강요한다고 해서 절대 감정적으로 사직서를 제출한다든지 무단결근을 한다든지 하는 행동을 하지 마시기 바랍니다. 향후 이를 법적으로 대응할 경우 불리해 질 수 있습니다.

현재의 상황으로 가장 좋은 방법은 회사의 의도를 파악하는 것이 급선무 되어야 합니다. 대부분의 징계해고의 경우 회사가 먼저 해고라는 결론을 가지고 구실을 찾는 경우가 많기 때문에 회사의 의도를 먼저 파악해 보는 것도 문제해결의 한 방법이 될 수 있을 것 같습니다.

회사가 단지 이번 일을 가지고 퇴사를 종용한다면 개인적으로 사정을 잘 말씀드리고 향후의 진로등을 배려해서  전직가능기간동안만이라도 근무할 수 있도록 배려해줄 것을 부탁하거나,  이와 반대로 실제 회사의 해고 의도가 숨겨져 있고 단지 하나의 구실로 거론되었다면 법적으로 대응하는 것도 한 가지 방법일 수 있을 것으로 판단됩니다. 이 경우 반드시 귀하의 귀책으로 인한 회사의 손실정도를 고려해 보아야 합니다.
그럼 참고가 되시길 바라며, 조속히 해결되길 바라겠습니다.

수고하십시요...