제가 노무사는 아니지만 비슷한 경험이 있어서 답변 드립니다.

1.사업자등록을 해야하는지
==> 안하셔도 됩니다. 나중에 일 끝날때 회사에서 세금원천징수영수증인가 하는거
        받아두셨다가 내년 5월에 세무서에 소득신고 하시면 됩니다.

2.의료보험은 어떻게 처리해야하는지
==> 며칠후에 집으로 지역의료보험 가입되었다고 통지서 옵니다.
       고지서 오면 의료보험료 내시면 됩니다.
       혹시, 가족과 같이 사시면, 가족중에 직장의료보험 되시는 분 있으면,
       그분의 직장의보에 올리셔도 됩니다.

3.국민연금은 또 어떻게 처리해야하는지
==> 퇴사후 약1년 정도는 유예가 됩니다.
      현재 백수로 나오기때문에 나중에 연금내라고 할때 지역가입자로 내시면 됩니다.
  
4.실업급여는 취직했다고 해야하는지 그냥 나오는대로 받아야하는지
==> 님은 현재 기타소득자(알바생)로 되어있기 때문에 구직활동을 한 서류만 제출하시면
      실업급여는 계속 받으실수 있습니다.